Probabilitate-ebazkizunak enpresen administrazio eta zuzendaritzako ikasleentzat/Laplaceren erregela

Wikibooks(e)tik
Hona jauzi: nabigazioa, bilatu

Laplaceren erregelaren arabera, gertakizun baten probabilitatea horren aldeko kasuen kopurua kasu posible guztien kopuruarekin zatituz kalkulatzen da. Erregela kalkulatzeko, kasu posible guztiak probabilitate berekoak izan behar dira.



  1. Mezulari batek lau gutun entregatu behar ditu. Zoriz aukeratzen du ibilbidea. Zenbat da lehenbizi gertuen dagoen etxera joateko probabilitatea? (b) Eta A gutuna B gutuna baino justu lehenago entregatzeko probabilitatea?

Zoriz egiten direnez, ibilbide guztiak probabilitate berekoak dira. Beraz, zilegi da Laplaceren erregela baliatzea probabilitateak kalkulatzeko.


(a) Gutunak A, B, C, D badira, gutunak entregatzeko kasu guztiak A, B, C eta D elementuen permutazioak dira: 4!=24.

A gutuna bada gertuen entregatzekoa, aldeko kasuetan lehen letra A izango da. Beste hiruren ordena aldatu ahal izango da (ABCD,ACDB,ADBC,...); horrela, aldeko kasuak 3 elementuren (A finkoa denez, B,C eta D elementuak hain zuzen) permutazioak izango dira: 3!=6.

Beraz, eskatutako probabilitatea 6/24=1/4 da.

Askoz ere sinplekiago ebaz daiteke: lehen gutuna A, B, C zein D izan daiteke; gertuena lau horietan bakarra da (A, demagun); beraz, hortik abiatzeko probabilitatea 1/4 da.

(b)

Kasu posibleak lehengo berdinak dira: 24. Aldeko emaitzetan, AB elkarrekin eta orden horretan egon behar direnez, bloke bat osatzen dute, besteekin edozein ordenatan sar daitezkeenak. Hau da, AB blokea, C eta D (hiru elementu, guztira) edozein eratara ordena daitezke. Ordena hauen kopurua 3!=6 da. Beraz, probabilitatea 6/24=0.25 da.




  1. Lau bezerori bidali beharreko pakete desberdin bana bidali behar zaie, baina nahastu direnez, ez dakigu zein bidali behar zaion bakoitzari. Zoriz egiten bada bidalketa, zenbatekoa da bezeroei behar bezala bidaltzeko probabilitatea?



Ebazpena:


Paketeak A, B, C eta D badira, eta bezeroak a, b, ceta d, bidaltzeko modu bakoitza elementu horien permutazio moduan irudika daiteke:


A B C D
b a d c (denak gaizki bidaltzen dira)
a d c b (a eta c ongi bidaltzen dira)
a b c d (denak ongi bidaltzen dira)
........

Guztira, beraz, bidaltzeko 4!=24 era ezberdin daude, guztiak gertatzeko aukera berdinekin edo probabilitate berekoak. 24 era horietatik, bidaltzeko era zuzen bakarra dagoenez (Aa-Bb-Cc-Dd), paketeak behar bezala bidaltzeko probabilitatea, zoriz bidaltzen badira, hau da:

Pentsa daiteke bidaltzeko modu bakarra dagoela, bidali den modua hain zuzen, baina modu hori ezaguna ez denez, zorizkotzat hartu eta aukera guztiak hartu behar dira kontuan.



  1. Pertsona batek pasahitz bat 0 motako 4 ikur eta X motako bi ikurrez osaturik dagoela daki soilik. Horien hurrenkera zuzena guztiz ezezaguna da. Zenbatekoa da 10 saialditan pasahitza asmatzeko probabilitatea?



Ebazpena:


Pasahitza ez dakienez, erabiltzaileak edozein izan daitekeela pentsatu behar du, guztiz zorizkoa dela alegia. Beraz, Laplaceren erregela erabil daiteke probabilitatea kalkulatzeko. Pasahitz posible bakoitza 4 0 eta 2 X ikurren permutazio bat da. Ikurrak errepikatzen direnez, saialdi ezberdinen kopurua errepikatuzko permutazioak erabiliz kalkulatzen da:

15 aukera hauetatik, pertsonak 10 pasahitz idatziko ditu eta beraz, 10 kasutan asmatuko du. Beraz, pasahitza asmatzeko probabilitatea hau da:



  1. Ontzi batean 12 pieza akasgabe eta 6 pieza akastun daude. 4 pieza ateratzen dira batera (edo itzulerarik gabe). Zenbatekoa da denak akasgabeak izateko probabilitatea? Eta akastun bakarra izateko probabilitatea?



Ebazpena:

Estatistikan maiz agertzen diren ontzien problema bat da. Ontzi batean mota batzuetako zenbait elementu daudelarik, horietako batzuk batera (edo berdina dena, banan banan eta itzulerarik gabe) atera eta mota bakoitzeko elementu kopuru baten probabilitatea kalkulatu behar denean aplikatzen da.

4 pieza atera eta 4ak akasgabe izateko probabilitatea kalkulatzean, ontzitik 4 pieza ateratzen direnez, 4koteak osatu behar dira (k=4), guztira 16 pieza (akastunak: X, akasgabeak:0) aukeran direlarik (X1-X2-X3-X4-01-02-03-...-012). Ordena ez da kontuan hartu behar (batera hartzean ez baitago ordena jakinik) eta ezin dira errepikatu (batera ateratzen baitira). Horrela, kasu posible guztien kopurua (Laplace erregela aplikatuz, probabilitatearen zatitzailean jarri beharrekoa) konbinazio arrunten formulaz kalkulatu behar da:

Denak akasgabeak izateko probabilitatea kalkulatzeko, denak akasgabeak direneko kasuak zenbatu behar dira. Aldeko kasuetan 4koteak osatu behar dira baita ere, baina orain aukerako elementuak 12 akasgabeak dira, denak akasgabeak izan behar direlako. Ordena ez da kontuan hartzen eta errepikapena ez da posible (kasu posible guztietan bezalaxe, izan ere aldekoak posible guztietatik batzuk besterik ez baitira). Horrela aldeko kasuak hauek izango dira:

Probabilitatea aldeko kasuak kasu guztien kopuruarekin zatituz kalkulatuko da:

3 akasgabe izateko probabilitatearen kalkulua azaltzen da jarraian. Kasu posible guztiak berdin berdinak dira, noski. Aldekoetan 3 akasgabe eta 1 akastun aukeratu behar dira, hau da, bi gauza egin behar dira eta beraz, bakoitza bere aldetik zenbat eratara egin daitekeen zenbatu behar da:

  • 3 akasgabeak, arestian bezala pentsatuz, eratara aukera daitezke.
  • Akastuna eratara aukera daiteke.

Biderketa-printzipioaz, guztira 3 akasgabeak eta akastuna eratara aukera daitezke orduan.

Horrela, hau da eskatutako probabilitatea:


Ontzi problemetako probabilitateak kalkulatzeko zenbaki konbinatorioak zuzen zehaztu diren frogatzeko, konprobazio azkar hau egin daiteke: 12+6=18 eta 4+0=4.

Oharra: 4 pieza akasgabeak izateko probabilitatea ere aurreko probabilitatearen formato berari jarraiki kalkula daiteke, aldeko kasuetan akasgabeak eta kastunak suertatzeko era kopuruak bidertuz:

Azken emaitza ez da aldatzen, betetzen delako; hain zuzen, 6 akastunetatik 0 akastun aukeratzeko era bakarra dago, inongo pieza akastunik ez aukeratze soila alegia.


  1. Talde batean 6 emakume eta 8 gizon daude. 4 pertsona aukeratu behar dira zoriz batera. Zenbatekoa da denak emakume izateko probabilitatea? Zenbat da aukeratutako taldean Ane eta Miren izateko probabilitatea? Eta 2 emakume eta 2 gizon izateko probabilitatea? Eta 2 emakume eta 2 gizon izateko probabilitatea taldera beste sei gizon biltzen badira?


Ebazpena


2 gain 2 1 da, Anek eta Mirenek osatzen duten multzotik biak era bakarrean aukeratu daitezkeelako, Ane eta Miren beraiek aukeratuz alegia.

6 gizon bilduz hasierako taldera, berriz:



Azken probabilitate hau horren aurrekoa baino txikiagoa izango da, 2 emakume eta 2 gizon gertatzeko aukerak handiagoak baitira emakumeak eta gizonak proportzio berean dauden taldean, proportzio horretatik urrun dauden taldean baino.




  1. Kaxa batean A, B eta C motako 6, 8 eta 10 pieza daude. Zenbatekoa da 6 pieza batera aterata, A, B eta C motako 3, 2 eta 1 pieza suertatzeko probabilitatea? Eta A motako 5 pieza ateratzeko probabilitatea?


Ebazpena:





  1. Supermerkatu batean 5 ilara daude. Bezeroak zoriz aukeratzen du ilara bat.
Zenbat da azken 3 bezeroetatik gutxienez 2 bezero A ilaran suertatzeko probabilitatea?


(a) Bezeroak 1,2,3 eta kaxak A,B,C,D,E izendatzen badira, bezeroak ilaretan jartzeko erak honelakoak dira:

1 2 3  #bezeroak
A B D
D B A #ordena BAI (bezeroak desberdinak direlako)
B B C #errepikapena BAI
D A E
.....

Horrela, errepikapenik badago eta ordena kontuan hartu behar da. Beraz, errepikatuzko aldakuntzen formula erabili behar da kasu posible guztien kopurua emateko:

Ordena kontuan hartu behar izateko arrazoia hau da: ordena kontuan hartuko ez balitz, ABC konfigurazioan ABC, baina baita ere CBA, BCA, ... konfigurazioak bilduko liratke, baina AAA kasuan AAA bakarrik. Modu honetan, ABC eta AAA elirateke probabilitate berekoak izango eta orduan ezingo litateke Laplaceren erregela erabili.

Aldeko kasuak hauek dira: AAB, ABA, BAA - AAC, ACA, CAA - AAD, ADA, DAA - AAE, AEA, EAA eta azkenik AAA (3 bezeroak ilarara), hau da, 13 guztira.

Eskatutako probabilitatea 13/125=0.104 da.

Problema zailak[aldatu]

  1. 10 ataza burutu behar dira hurrengo bi asteetan, astelehenetik ostiralera banatuta. Banaketa zoriz egiten bada, zenbat da A eta B atazak lehen astean suertatzeko probabilitatea?


Atazak 10 egunetan zehar banatzeko erak permutazio arruntak dira: 10!.

Aldeko kasuei dagokienean, lehen astean egiten diren bi atazak astegun horietan egiteko aukera kopurua zenbatu behar da (astelehen eta ostegun, astearte eta asteazken, ...). Ordena kontuan hartuz zenbatu behar dira, desberdina baitira lehen ataza astelehenean eta bigarrena asteartean, alde batetik, eta lehen ataza asteartean eta bigarrena astelehenean, bestetik, egitea. Bikoteak osatu behar dira eta bost elementu (egunak) daude aukeran. Beraz, bi ataza horiek burutzeko egunak aukeratzeko erak aldakuntza arruntak dira: 5!/(5-2)!=20.

Libre geratzen diren beste 8 egunetan beste 8 atazak banatzeko erak 8! dira. Aldeko kasuak guztira 20*8! dira orduan.

Beraz, eskatutako probabilitatea 20*8!/10! da.



  1. Goxokiak ekoizten dituen enpresa batek zapore guztietako goxokiak paper berean bilduko ditu, kostuak murriztu arren. 4 zaporeko 5na goxoki sartzen da poltsa bakoitzean. Pertsona batek 4 goxoki hartzen baditu, zenbatekoa da 4 zaporeak jasotzeko probabilitatea? Eta 3 zapore? Eta 2? Eta denak zapore berekoak izateko probabilitatea? 4 zaporeko 5na goxoki sartu ordez, 10na sartzen badira, nola aldatzen dira aurreko probabilitatea?


Ebazpena

Zaporeak A, B, C eta D izendatuko dira.

Zapore guztiak biltzeko 4 goxokietan zapore bana izan behar da:

Hiru zaporeko goxokiak izateko, zapote batetik bi goxoki eta beste bitatik bana hartu behar da; adibide bat hau da: zenbakiz adierazita A:2-B:1-C:1-D:0, labur 2-1-1-0. 2-1-1-0 egitura hainbat modutara ager daiteke: 1-1-2-0, 0-1-2-1, ... Egitura horiei dagozkien kasu kopuruak berdinak dira: berdinak dira, adibidez, A:2-B:1-C:1-D:0 eta A:1-B:2-C:0-D:1 izateko kasuak, zapore bakoitzeko goxoki kopuruak berdinak baitira. Beraz, 2-1-1-0, 2-1-0-1, 1-0-2-1, ... eta beste kasu guztietako kasuak gehitu egin behar direnez, egitura baten probabilitatea kalkulatu eta 2-1-1-0 egituraren permutazio kopuruaz bidertuko da.

2-1-1-0 egituraren permutazio kopurua hau da:

Horietako bakar baten probabilitatea kalkulatuko da jarraian:


Beraz, lau goxokietan hiru zapore izateko probabilitatea hau da:


Bi zapore izateko egiturak hauek dira: 3-1-0-0 eta 2-2-0-0. Aurrekoan bezala garatuz, baina aldi berean bi zapore dakarten egiturak bi direla kontuan hartuz, probabilitatea hau izango da:


Zapore bakarra izateko lau goxokiak zapore berekoak izan behar dira. Laurak A zaporekoak izateko kasuei denak B, C zein D zaporekoak izateko kasuak gehituko zaizkie. Berdina den zapore hori A, B, C zein D izateko aldeko kasu kopuruak berdinak dira, zapore horietatik 5na goxoki daudelako. Beraz, denak A zaporekoak izateko kasuak zenbatu eta bider lau egingo da:



Zapore bakoitzeko goxki kopurua 5 izan beharrean, 10 bada, muturreko gertakizunak izateko probabilitatea txikiagoa izango da, goxoki gehiago izatean poltsako egiturara hurbiltzeko aukerak handiagoak izango baitira lau goxokietan; hau da, denak zaporeak berekoak izateko probabilitatea txikiagoa izango da. Baina, beste alde batetik, zapore bateko goxokiak hartzen goazela, zapore bateko goxoki gehiago badaude hasieratik (10, kasu honetan), hurrengoan zapore horretakoa ateratzeko aukerak ere handiagoak izango dira. Bi efektuak aurkakoak direnez, ezin da kalkulatu gabe aurresan zein izango den handiagoa. Lau zaporeetako 10na goxokiekin, azken probabilitatea hau izango da:


Eta azken emaitzak soilik adieraziko digu zein den handiena.



  1. Kooperatiba batean bazkideek makina bat partekatzen dute. Bazkide batek hurrengo 30 egunetarako plangintza egin eta hurrengo 10 egunetatik 4 egunetarako (ez derrigor segidan) eskatu du makina. Beste bazkide batek, modu independentean, 3 egunetarako eskatu du. Kointzidentzia kopuru ezberdinetako probabilitateak eman behar dira.



Ebazpena:


Bigarren bazkideak modu independentean egiten duenez, zoriz egiten duela pentsa daiteke. Aukeran dituen 10 egunetatik 3 egun aukeratzeko era kopuruak hauek dira, egun horien ordenak ez baitu garrantzirik (izan ere, 1-8-17 eta 17-8-1 egunen aukerak berdinak dira):

120 kasu posible horietatik, kointzidentziak 0, 1, 2 nahiz 3 egunetan gerta daitezke.

0 kointzidentzia izateko, bigarren bazkideak aukeratzen dituen 3 egunak lehenengo bazkideak aukeratu ez dituen 6 egunetan izan behar dira. Beraz, 0 kointzidentzia izatearen aldeko kasuak hauek dira:

Beraz, 0 kointzidentzia izateko probabilitatea 20/120=0.16 da.

Modu berean, kointzidentzia egun bat izateko, 6 egun libreetatik bigarren lankideak 2 aukeratu behar ditu:

;

eta, aldi berean, beste 4 egunetatik egun bakarra aukeratu behar du; horretan 4 aukera ditu, noski:

.

Beraz, egun bakarreko kointzidentzia duten kasuen kopurua da.

Horrela, egun bakarreko kointzidentzia izateko probabilitatea 60/120=0.5 da.