MD-liburua/Multzo-teoria

3. Gaia: Multzoak. Erlazioak. Funtzioak

3.1 Sarrera

Lehendabizi, Multzo-teoriaren oinarrizko kontzeptuak aztertzen hasiko gara; ondoren, multzo baten elementuen arteko erlazioak ikusiko ditugu; eta bukatzeko, bi multzoren arteko funtzioak landuko ditugu.

Aurreko gaietan garatu ditugun logikaren kontzeptuek lotura handia dute multzo-teoriarekin, eta gai honetan ikasiko ditugun froga asko kontzeptu horietan daude oinarriturik.

$\wedge$, $\vee$ eta $\neg$ zeinuez gain, idazkera hau ere erabiliko dugu:

$\Rightarrow$: “halabeharrez”, “orduan”. $p\Rightarrow q$ adierazpenak esanahi hau du: “$q$ $p$-ren ondorio logikoa da”, hau da, $p$ egiazkoa bada, $q$-k ere egiazkoa izan behar du; eta honela irakurriko dugu: “baldin $p$ halabeharrez $q$”, “baldin $p$ orduan $q$”, “$p$ baldintza nahikoa da $q$-rako”, “$q$ baldintza beharrezkoa da $p$-rako”.

$\Leftrightarrow$: “baldin eta soilik baldin”. $p\Leftrightarrow q$ adierazpenak esanahi hau du: “$(p\Rightarrow q){\mbox{ eta }}(q\Rightarrow p)$”; eta honela irakurriko dugu: “$p$ baldin eta soilik baldin $q$”, “$p$ baldintza nahikoa eta beharrezkoa da $q$-rako”.

$\forall$: “bakoitzeko”, “guztietarako”, “edozein”. Zenbatzaile unibertsala da. $\forall x$ honela irakurriko dugu: “$x$ bakoitzeko”, “$x$ guztietarako”, “edozein $x$”.

$\exists$: “existitzen da”, “badago”. Zenbatzaile existentziala da. $\exists x$ honela irakurriko dugu: “badago (gutxienez) $x$ (bat)”, “(gutxienez) $x$ bat existitzen da”.

$\exists \mid$: “bakar bat existitzen da”.

$\not \exists$: “ez dago”.

3.2 Multzoak

3.2.1 Multzoak eta azpimultzoak

Senaz, multzo bat ongi definitutako objektuen bilduma bat da. Objektu horiek elementu deitzen dira, multzoaren elementuak.

Ongi definitutako bilduma esaten dugunean, esan nahi dugu, edozein objektu emanik, erabaki ahal izango dugula objektu hori multzoaren elementua den, edo ez.

Multzo bat bi eratan defini dezakegu:

• Hedapenaren arabera: bere elementu guztiak banan-banan aipatuz, $A=\{0,1,2,\ldots ,20\}.$
• Ulerpenaren arabera: Bere elementuen ezaugarriak erakusten dituzten propietateak aipatuz, $A=\{x\;:\;x{\mbox{ zenbaki osoa da eta}}\;0\leq x\leq 20\}.$

Idazkera. Oro har, multzoak izendatzeko letra larriak erabiliko ditugu ($A$, $B$, $C$, $X$, $\ldots$), eta elementuak izendatzeko letra xeheak ($a,b,c,x,\ldots$).

$x$ objektua $A$ multzoaren elementua dela esateko $x\in A$ idatziko dugu ($x$ barne $A$, $x$ $A$ multzoan dago, $x$ $A$ multzoaren elementua da). $x$ objektua $A$ multzoaren elementua ez dela esateko $x\not \in A$ idatziko dugu.

Adibidea. $A=\{0,1,2,\ldots ,20\}$ bada, $11\in A$, $21\not \in A$ idatz ditzakegu.

Maiz erabiltzen diren multzo batzuk sinbolo bereziez adierazten dira:

Zenbaki arrunten multzoa: $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \;\}$.

Zenbaki osoen multzoa: $\mathbb {Z} =\{\;\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \;\}$.

Zenbaki arrazionalen multzoa: $\mathbb {Q} =\{x\;:\;x={\frac {a}{b}},{\mbox{ non }}a,b\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}b\neq 0\}$.

Zenbaki errealen multzoa: $\mathbb {R}$.

Zenbaki konplexuen multzoa: $\mathbb {C}$.

$0$-ren desberdinak diren zenbaki arrunten multzoa (edo zenbaki oso positiboen multzoa): $\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {Z} ^{+}=\{x\;:\;x\in \mathbb {N} {\mbox{ eta }}x\neq 0\}=\{x\;:\;x\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}x>0\}$.

Antzeko eran, $\mathbb {Z} ^{*}$, $\mathbb {Z} ^{-}$, $\mathbb {Q} ^{*}$, $\mathbb {Q} ^{+}$, $\mathbb {Q} ^{-}$, $\mathbb {R} ^{*}$, $\mathbb {R} ^{+}$, $\mathbb {R} ^{-}$, $\mathbb {C} ^{*}$.

Definizioa. Elementu-kopuru finitua duen $A$ multzo bat emanik, $A$ multzoaren elementu-kopuruari $A$ multzoaren kardinal deituko diogu eta honela adieraziko dugu: $\mid A\mid$, ${\mbox{card}}(A)$ edo $\#A$.

Adibidea. $A=\{0,1,2,\ldots ,20\}$ bada, ${\mbox{card}}(A)=21$ izango da.

Definizioa. $A$ multzoa $B$ multzoaren azpimultzoa dela esango dugu, eta $A\subseteq B$ idatzi, $A$ multzoaren elementu guztiak $B$ multzoaren elementuak badira. Hau da,

$x\in A\;\Rightarrow \;x\in B$

betetzen bada.

Adierazpen hauek ere erabiliko ditugu: $A$ $B$ multzoaren partea da; $A$ multzoa $B$ multzoan dago; $B$ multzoak $A$ multzoa barruan dauka

. $A$ ez bada $B$ multzoaren azpimultzoa, $A\not \subseteq B$ idatziko dugu. Kasu horretan gutxienez $A$ multzoaren elementu bat ez dago $B$ multzoan:

$\exists x\in A{\mbox{ non }}x\not \in B{\mbox{ den}}.$

Ohar gaitezen, $A$ edozein multzo izanik, ondoko hau betetzen dela:

$A\subseteq A.$

Adibidea. $A=\{0,1,2\}$ eta $B=\{-2,-1,0,1,2\}$ badira, $A\subseteq B$ eta $B\not \subseteq A$ betetzen dira.

Definizioa. [berdin] $A$ eta $B$ multzoak berdinak direla esango dugu, eta $A=B$ idatziko dugu, elementu berak badauzkate. Hau da,

$x\in A\;\Leftrightarrow \;x\in B$

betetzen bada; edo gauza bera dena, $A\subseteq B$ eta $B\subseteq A$ betetzen badira.

Definizioa. $A$ multzoa $B$ multzoaren azpimultzo jatorra da, eta $A\subset B$ idatziko dugu, $A\subseteq B$ bada, baina $A\neq B$; hau da,

$x\in A\;\Rightarrow \;x\in B,$ eta $\exists x\in B{\mbox{ non }}x\not \in A{\mbox{ den}}$

betetzen badira.

Honela ere esan dezakegu: $A$ multzoa $B$ multzoaren parte jatorra da, edo $A$ multzoa zeharo dago $B$ multzoan, edo $B$ multzoak $A$ multzoa zeharo barruan dauka.

Adibidea. $A=\{0,1,2\},\;B=\{-2,-1,0,1,2\}\;{\mbox{ eta }}\;C=\{x\;:\;x\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}0\leq x\leq 2\}$ baditugu, $A=C\subset B$ betetzen da. Multzoaren kontzeptua zabalduz, definizio hauek eman ditzakegu:

Definizioa. Elementurik ez duen multzoari multzo huts deituko diogu. $\emptyset$ adierazten da. Ohar gaitezen $\emptyset \neq \{\emptyset \}$ dela; izan ere, $\emptyset$ elementurik ez duen multzoa den bitartean, $\{\emptyset \}$ elementu bakarra duen multzo bat da, elementu hori $\emptyset$ izanik. Bestalde, $\emptyset \neq 0$ dela ere esan behar dugu; $\emptyset$ elementurik ez duen multzoa delako eta $0$ zenbaki bat delako. Azkenik, $\emptyset \neq \{0\}$, $\{\emptyset \}$ alde batetik, elementurik ez duen multzoa delako eta, bestetik, $\{0\}$ elementu bakarra, $0$, duen multzo bat delako.

Horrez gain, $A$ edozein multzo izanik, $\emptyset \subseteq A.$ Izan ere, $x\in \emptyset \Rightarrow x\in A$ betetzen da, $x\in \emptyset$ beti faltsua delako. (Ba al dago $\emptyset$ multzoan elementuren bat $A$ multzoan ez dagoena?)

Definizioa. Aztertzen ari diren multzo guztien elementu guztiak dituen multzoari multzo unibertsal edo erreferentzi multzo deituko diogu. $U$ izendatuko dugu. Esate baterako, zenbaki errealen propietateak aztertzen ari bagara, $\mathbb {R}$ hartuko dugu multzo unibertsaltzat.

$A$ edozein multzo izanik, $A\subseteq U$ betetzen da. Izan ere, $x\in A\Rightarrow x\in U$ beti betetzen da, $x\in U$ beti delako egiazkoa.

Definizioa. $A$ multzo bat emanik, $A$ multzoaren parteen multzo edo $A$ multzoaren potentzia multzo deituko diogu elementutzat $A$ multzoaren azpimultzo guztiak dituenari. ${\mathcal {P}}(A)$ adieraziko dugu.

Adibidea. $A=\{0,1,2\}$ bada, ${\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},A\}$ izango da.

$A$ finitua bada eta ${\mbox{card}}(A)=n$ bada,

${\mbox{card}}({\mathcal {P}}(A))=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}$

beteko da.

3.2.2 Multzoen arteko eragiketak

Izan bitez $A$ eta $B$ bi multzo.

Definizioa.

• $A\subseteq B$ bada, $C_{B}(A):=\{x\;:\;x\in B{\mbox{ eta }}x\not \in A\}$ multzoari $A$ multzoaren multzo osagarri $B$ multzoan deituko diogu, eta $C_{B}(A)$ idatziko dugu.

  $B=U$ (unibertsala) bada, $C_{U}(A)$ multzoari $A$ multzoaren multzo osagarri bakarrik deituko diogu eta $A^{c}$ adieraziko dugu.

  $A^{c}:=\{x\;:\;x\not \in A\}$

  Gorriz, A multzoaren multzo osagarria.

• Ondoko multzo honi $A$ eta $B$ multzoen arteko ebakidura multzo deituko diogu eta $A\cap B$ adieraziko dugu:

  $A\cap B:=\{x\;:\;x\in A{\mbox{ eta }}x\in B\}$

  A eta B multzoen ebakidura, $A\cap B$.

  $A\cap B=\emptyset$ bada, $A$ eta $B$ multzoak disjuntuak direla esango dugu.

• Ondoko multzo honi $A$ eta $B$ multzoen arteko bildura multzo deituko diogu eta $A\cup B$ adieraziko dugu:

  $A\cup B:=\{x\;:\;x\in A{\mbox{ edo }}x\in B\}$

  A eta B multzoen bildura, $~A\cup B$

  $A$ eta $B$ multzo disjuntuak badira, $A$ eta $B$ multzoen arteko bildura $\cup$ sinboloaren gainean puntu bat duela adierazi ohi da, honela: $A{\dot {\cup }}B$.

• Ondoko multzo honi $A$ eta $B$ multzoen arteko kendura multzo deituko diogu eta $B\setminus A$ adieraziko dugu:

  $B\setminus A:=\{x\;:\;x\in B{\mbox{ eta }}x\not \in A\}$

  A eta B multzoen kendura, $B\setminus A=B\cap A^{c}$

  $A\subseteq B$ bada, $B\setminus A=C_{B}(A)$ berdintza beteko da.

Adibidea. Izan bitez $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $B=\{0,2,4,6,8,10\}$, $C=\{1,3,5,7,9\}$, $D=\{0,1,2,3,4,5\}$ eta $U=\mathbb {N}$ multzoak. Hau dena betetzen da:

$C_{A}(B)=A\setminus B=C$;		$A^{c}=\{x\;:\;x\in \mathbb {N} {\mbox{ eta }}x\geq 11\}$;
$B\cap D=\{0,2,4\}$;		$B$ eta $C$ disjuntuak dira;
$B\cup D=\{0,1,2,3,4,5,6,8,10\}$;		$B\cup C=B{\dot {\cup }}C=A$;
$C\setminus D=\{7,9\}$.

Propietateak.

• Trukatze-legea: ${\begin{array}{ccc}A\cup B=B\cup A\quad &&\quad A\cap B=B\cap A\end{array}}$
• Elkartze-legea: ${\begin{array}{ccc}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\quad &&\quad A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\end{array}}$
• Banatze-legea: ${\begin{array}{ccc}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\quad &&\quad A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\end{array}}$
• De Morgan-en legeak: ${\begin{array}{ccc}(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}\quad &&\quad (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}\end{array}}$
• Idenpotentzia: ${\begin{array}{ccc}A\cup A=A\quad &&\quad A\cap A=A\end{array}}$
• ${\begin{array}{ccc}A\cup U=U\quad &&\quad A\cap U=A\end{array}}$
• ${\begin{array}{ccc}A\cup A^{C}=U\quad &&\quad A\cap A^{C}=\emptyset \end{array}}$
• ${\begin{array}{ccc}A\cup \emptyset =A\quad &&\quad A\cap \emptyset =\emptyset \end{array}}$
• ${\begin{array}{ccc}A\subseteq A\cup B\quad &&\quad A\cap B\subseteq A\end{array}}$
• ${\begin{array}{ccc}U^{C}=\emptyset \quad &\quad \emptyset ^{C}=U\quad &\quad (A^{C})^{C}=A\end{array}}$

Froga.

Propietate horiek lokailu logikoen propietateak erabiliz frogatzen dira.

Adibide gisa, horietako bi frogatuko ditugu.

• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

  Multzoen arteko berdintza frogatu behar dugu; hortaz, ondoko hau frogatu beharko dugu ([berdin] def.):

  1. $A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$,

  2. $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$.

  1. $A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$ frogatzeko, beste hau frogatu behar dugu:
     $x\in A\cup (B\cap C)\Rightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cup C).$

     $x\in A\cup (B\cap C)\Rightarrow (x\in A)\vee (x\in B\cap C){\mbox{ (}}\cup {\mbox{ bilketaren definizioa) }}\Rightarrow$

     $\Rightarrow (x\in A)\vee (x\in B\wedge x\in C){\mbox{ (}}\cap {\mbox{ ebaketaren definizioa) }}\Rightarrow$

     $\Rightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A\vee x\in C){\mbox{ (}}\vee {\mbox{ disjuntzioaren banakortasuna }}$

     $\quad \wedge {\mbox{ konjuntzioarekiko) }}\Rightarrow (x\in A\cup B)\wedge (x\in A\cup C){\mbox{ (}}\cup {\mbox{ bilketaren definizioa) }}\Rightarrow$

     $\Rightarrow x\in (A\cup B)\cap (A\cup C){\mbox{ (}}\cap {\mbox{ ebaketaren definizioa). }}$

  2. $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$ antzeko eran frogatzen da:

     $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)\Rightarrow (x\in A\cup B)\wedge (x\in A\cup C){\mbox{ (}}\cap {\mbox{ ebaketaren definizioa) }}\Rightarrow$

     $\Rightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A\vee x\in C){\mbox{ (}}\cup {\mbox{ bilketaren definizioa) }}\Rightarrow$

     $\Rightarrow (x\in A)\vee (x\in B\wedge x\in C){\mbox{ (}}\vee {\mbox{ disjuntzioaren banakortasuna }}$

     ${\mbox{ }}\wedge {\mbox{ konjuntzioarekiko) }}\Rightarrow (x\in A)\vee (x\in B\cap C){\mbox{ (}}\cap {\mbox{ ebaketaren definizioa) }}\Rightarrow$

     $\Rightarrow x\in A\cup (B\cap C){\mbox{ (}}\cup {\mbox{ bilketaren definizioa). }}$

• $A\subseteq A\cup B$:

  $x\in A\Rightarrow (x\in A)\vee (x\in B){\mbox{ (erantsiz) }}\Rightarrow x\in A\cup B{\mbox{ (}}\cup {\mbox{ bilketaren definizioa).}}$ $\Box$

Bilketaren eta ebaketaren elkarkortasunak aukera ematen digu $A\cup B\cup C$ eta $A\cap B\cap C$ idazteko, parentesirik erabili gabe. Horrek, trukakortasunarekin batera, aukera ematen digu zenbait multzoren arteko bilketaz eta ebaketaz hitz egiteko, multzoak ordenan eman beharrik gabe.

$I$ indizeen multzo ez-huts bat bada eta $i\in I$ bakoitzeko $A_{i}$ multzo bat bada, $\bigcup _{i\in I}A_{i}:=\{x\;:\;\exists i\in I{\mbox{ non }}x\in A_{i}\},$ $\bigcap _{i\in I}A_{i}:=\{x\;:\;\forall i\in I\;\;\;x\in A_{i}\}.$

Adibideak.

1. Izan bedi $A_{i}=\{1,\ldots ,i\}$ $i\in \mathbb {N} ^{*}$ bakoitzeko. Orduan,
   $\bigcup _{i\in \mathbb {N} ^{*}}A_{i}=\mathbb {N} ^{*}\quad {\mbox{ eta }}\quad \bigcap _{i\in \mathbb {N} ^{*}}A_{i}=\{1\}.$
2. $i\in \mathbb {Z}$ bakoitzeko, izan bedi $A_{i}=\{i,i+1\}$. Orduan,
   $\bigcup _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}=\mathbb {Z} \quad {\mbox{ eta }}\quad \bigcap _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}=\emptyset .$

Froga genitzake De Morganen lege orokortuak: $\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{c}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{c},$ $\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{c}=\bigcup _{i\in I}A_{i}^{c}.$

3.2.3 Multzo baten partiketa

Definizioa. [particion] $A$ multzo bat emanik, $A$ multzoaren partiketa bat $A$ multzoaren azpimultzo ez-hutsen familia bat da, non multzoak binaka hartuta disjuntuak diren eta guztien bildura $A$ den. Hau da,

A multzoaren partiketa
6 klasetan {A₁, ... , A₆}.

${\mathcal {P}}=\{A_{i}\;:\;i\in I\}$ familia $A$ multzoaren partiketa bat da hiru baldintza hauek betetzen badira:

• $(\forall i\in I)$ $\emptyset \neq A_{i}\subseteq A$,
• $(\forall i,j\in I)$ $A_{i}\neq A_{j}\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$,
• $\displaystyle {{\dot {\bigcup }}_{i\in I}A_{i}=A}$.

$A_{i}$ azpimultzoei partiketaren klase deituko diegu.

Adibideak.

1. $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ emanik,

   $A_{1}=\{1,3,5,7,9\}$ eta $A_{2}=\{2,4,6,8,10\}$ multzoek $A$ multzoaren bi klaseko partiketa bat osatzen dute:
   ${\mathcal {P}}=\{A_{1},A_{2}\}$;

   $B_{1}=\{1,2,3\}$, $B_{2}=\{4,6,8,10\}$ eta $B_{3}=\{5,7,9\}$ multzoek $A$ multzoaren hiru klaseko partiketa bat osatzen dute: ${\mathcal {P}}'=\{B_{1},B_{2},B_{3}\}$.

2. ${\mathcal {P}}=\{\mathbb {Z} ^{-},\{0\},\mathbb {Z} ^{+}\}$ familia $\mathbb {Z}$ multzoaren partiketa bat da.

Definizioaren ondorioa. ${\mathcal {P}}=\{A_{i}\;:\;i\in I\}$ bada $A$ multzoaren partiketa bat, $A$ multzoaren elementu bakoitza ${\mathcal {P}}$ partiketaren klase bakar baten elementua izango da:

$\forall x\in A\quad \exists \mid A_{i}\in {\mathcal {P}}{\mbox{ non }}x\in A_{i}.$

3.2.4 Bi multzoren arteko biderketa kartesiarra

$a$ eta $b$ bi objektuen bilduma bati, non $a$ lehenengoa eta $b$ bigarrena diren, $(a,b)$ bikote (ordenatu) deituko diogu. Beraz, $(a,b)\neq (b,a)$ eta $\{a,b\}=\{b,a\}$ betetzen dira.

Antzeko eran definitzen dira $(a,b,c)$ hirukotea, $(a,b,c,d)$ laukotea... eta, orokorrean, $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ $n$-kotea.

Definizioa. $A$ eta $B$ bi multzoak emanik, $A$ eta $B$ multzoen arteko biderkadura kartesiar deituko diogu, eta $A\times B$ adieraziko dugu, lehenengo osagaitzat $A$ multzoaren elementua eta bigarren osagaitzat $B$ multzoaren elementua dituzten bikote guztien multzoari: $A\times B:=\{(x,y)\;:\;x\in A,\;y\in B\}.$

Antzeko eran definitzen da $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $n$ multzoen arteko biderkadura kartesiarra: $A_{1}\times \cdots \times A_{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\;:\;x_{i}\in A_{i},\;i=1,\ldots ,n\}.$ Idazkera. $A^{n}=A\times {\stackrel {n}{\cdots }}\times A$.

Adibidea. Izan bitez $A=\{a,b\},B=\{1,2,3\},C=\{a\}$. Orduan,

$A\times B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}$;

$B\times A=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$;

$A\times B\times C=\{(a,1,a),(a,2,a),(a,3,a),(b,1,a),(b,2,a),(b,3,a)\}$;

$B^{2}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$;

$A^{3}=\{(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a),(b,b,b)\}$;

$C^{7}=\{(a,a,a,a,a,a,a)\}$.

3.3 Erlazioak

3.3.1 Definizioak

Definizioa. $A$, $B$ multzoak emanik, $A$ multzoaren eta $B$ multzoaren arteko biderkadura kartesiarra multzo hau da: $A\times B=\{(a,b)/a\in A{\mbox{ eta }}b\in B\}.$

$(a,b)$ bikoteari bikote ordenatu deituko diogu; $a$ lehenengo osagaia izango da, eta $b$ bigarren osagaia.

$(a,b)$ eta $(c,d)$ bikoteak berdinak dira $a=c$ eta $b=d$ badira.

Definizioa. $A$ multzoa emanik, $A$ multzoaren gaineko erlazio bitar bat $A\times A$ biderkadura kartesiarraren ${\mathcal {R}}$ azpimultzo bat da: ${\mathcal {R}}\subseteq A\times A.$ $(a,b)\in {\mathcal {R}}$ bada, $a$ $b$-rekin (${\mathcal {R}}$ erlazioaren bidez) erlazionaturik dagoela esango dugu, eta $a{\mathcal {R}}b$ idatziko dugu.

$(a,b)\not \in {\mathcal {R}}$ bada, $a$ ez dagoela $b$-rekin (${\mathcal {R}}$ erlazioaren bidez) erlazionaturik esango dugu, eta $a\not {\mathcal {R}}b$ idatziko dugu.

Adibideak.

1. $A=\{1,2,3,4\}$. ${\mathcal {R}}_{1}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}.$
2. $A=\mathbb {Z}$. ${\mathcal {R}}_{2}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}x\leq y\}.$ Edo, $x,y\in \mathbb {Z}$ emanik, $x{\mathcal {R}}_{2}y\Leftrightarrow x\leq y$.
3. $A=\mathbb {N} ^{*}$. ${\mathcal {R}}_{3}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {N} ^{*}{\mbox{ eta }}x\mid y\}.$ Edo, $x,y\in \mathbb {Z}$ emanik, $x{\mathcal {R}}_{3}y\Leftrightarrow x\mid y$.
4. $A=\mathbb {N} ^{*}$. ${\mathcal {R}}_{4}=\{(1,1),(2,2)\}.$
5. $A=\mathbb {Z}$. $x,y\in \mathbb {Z}$ emanik, $x{\mathcal {R}}_{5}y\Leftrightarrow \mid x\mid =\mid y\mid .$ Edo, baliokidea dena, ${\mathcal {R}}_{5}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}\mid x\mid =\mid y\mid \}.$ ($x\in \mathbb {Z}$ emanik, $\mid x\mid$ $x$-ren balio absolutua da).

Definizioa. ${\mathcal {R}}$ bada $A$ multzoaren gaineko erlazio bitarra:

• ${\mathcal {R}}$ bihurkorra dela edo bihurtze-propietatea betetzen duela esango dugu $(\forall x\in A)\quad (x,x)\in {\mathcal {R}}{\mbox{ bada,}}$ edo, baliokidea dena, $(\forall x\in A)\quad x{\mathcal {R}}x{\mbox{ bada}}.$
• ${\mathcal {R}}$ simetrikoa dela edo simetri propietatea betetzen duela esango dugu $(\forall x,y\in A)\quad (x,y)\in {\mathcal {R}}\,\Rightarrow \,(y,x)\in {\mathcal {R}}{\mbox{ bada,}}$ edo, baliokidea dena, $(\forall x,y\in A)\quad x{\mathcal {R}}y\,\Rightarrow \,y{\mathcal {R}}x{\mbox{ bada}}.$
• ${\mathcal {R}}$ antisimetrikoa dela edo antisimetri propietatea betetzen duela esango dugu $(\forall x,y\in A)\quad (x,y)\in {\mathcal {R}}\,{\mbox{ eta }}\,(y,x)\in {\mathcal {R}}\,\Rightarrow \,x=y{\mbox{ bada,}}$ edo, baliokidea dena, $(\forall x,y\in A)\quad x{\mathcal {R}}y\,{\mbox{ eta }}\,y{\mathcal {R}}x\,\Rightarrow \,x=y{\mbox{ bada}}.$
• ${\mathcal {R}}$ iragankorra dela edo iragate-propietatea betetzen duela esango dugu $(\forall x,y,z\in A)\quad (x,y)\in {\mathcal {R}}\,{\mbox{ eta }}\,(y,z)\in {\mathcal {R}}\,\Rightarrow \,(x,z)\in {\mathcal {R}}{\mbox{ bada,}}$ edo, baliokidea dena, $(\forall x,y,z\in A)\quad x{\mathcal {R}}y\,{\mbox{ eta }}\,y{\mathcal {R}}z\,\Rightarrow \,x{\mathcal {R}}z{\mbox{ bada}}.$

Adibideak.

1. $A=\{1,2,3,4\}$ multzoan, ${\mathcal {R}}_{1}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}$ erlazioa bihurkorra, simetrikoa eta iragankorra da. Ez da antisimetrikoa.
2. ${\mathcal {R}}_{2}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}x\leq y\}.$
   • Bihurkorra da: $x\in \mathbb {Z}$ bakoitzeko, $x\leq x$. Beraz, $x\in \mathbb {Z}$ bakoitzeko, $x{\mathcal {R}}_{2}x$.
   • Ez da simetrikoa: $0{\mathcal {R}}_{2}7$, baina $7\not {\mathcal {R}}_{2}0$.
   • Antisimetrikoa da: $x,y\in \mathbb {Z}$ guztietarako, $x{\mathcal {R}}_{2}y{\mbox{ eta }}y{\mathcal {R}}_{2}x\Rightarrow x\leq y{\mbox{ eta }}y\leq x\Rightarrow x=y.$
   • Iragankorra da: $x,y,z\in \mathbb {Z}$ guztietarako, $x{\mathcal {R}}_{2}y{\mbox{ eta }}y{\mathcal {R}}_{2}z\Rightarrow x\leq y{\mbox{ eta }}y\leq z\Rightarrow x\leq z\Rightarrow x{\mathcal {R}}_{2}z.$
3. ${\mathcal {R}}_{3}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {N} ^{*}{\mbox{ eta }}x\mid y\}.$
   • Bihurkorra da: $x\in \mathbb {N} ^{*}$ guztietarako, $x{\mathcal {R}}_{3}x$, $x=1\cdot x$, $1\in \mathbb {Z}$, delako.
   • Ez da simetrikoa: $2{\mathcal {R}}_{3}8$, baina $8\not {\mathcal {R}}_{3}2$ ($2$-k zatitzen du $8$, baina $8$-k ez du zatitzen $2$).
   • Antisimetrikoa da: $x,y\in \mathbb {N} ^{*}$ emanik, demagun $x{\mathcal {R}}_{3}y{\mbox{ eta }}y{\mathcal {R}}_{3}x$ betetzen direla; frogatu behar dugu $x=y$ dela. $\left.{\begin{array}{l}x{\mathcal {R}}_{3}y\\y{\mathcal {R}}_{3}x\end{array}}\right\}\Rightarrow \left.{\begin{array}{l}x\mid y\\y\mid x\end{array}}\right\}\Rightarrow x=y{\mbox{ edo }}x=-y\Rightarrow x=y,x,y>0{\mbox{ direlako}}.$
   • Iragankorra da: $x,y,z\in \mathbb {N} ^{*}$ guztietarako, $\left.{\begin{array}{l}x{\mathcal {R}}_{3}y\\y{\mathcal {R}}_{3}z\end{array}}\right\}\Rightarrow \left.{\begin{array}{l}x\mid y\\y\mid z\end{array}}\right\}\Rightarrow \left.{\begin{array}{l}y=kx,k\in \mathbb {Z} \\z=ly,l\in \mathbb {Z} \end{array}}\right\}\Rightarrow z=lkx,lk\in \mathbb {Z} \Rightarrow x{\mathcal {R}}_{3}z.$
4. $A=\mathbb {N} ^{*}$ multzoan, ${\mathcal {R}}_{4}=\{(1,1),(2,2)\}$ erlazioa simetrikoa, antisimetrikoa eta iragankorra da; eta ez da bihurkorra.
5. $A=\mathbb {Z}$ multzoan, $x{\mathcal {R}}_{5}y\Leftrightarrow \mid x\mid =\mid y\mid$ erlazioa bihurkorra, simetrikoa eta iragankorra da. Ez da antisimetrikoa.

3.3.2 Ordena-erlazioak

Definizioa. $A$ multzoaren gaineko ${\mathcal {R}}$ erlazio bitar bat ordena-erlazioa da bihurkorra, antisimetrikoa eta iragankorra bada.

$A$ multzo batek ${\mathcal {R}}$ ordena-erlazio bat badu definiturik, ${\mathcal {R}}$ erlazioak $A$ multzoa ordenatzen duela edo $A$ multzoa ordenaturik dagoela esango dugu.

Definizioa. $A$ multzoaren gaineko ${\mathcal {R}}$ ordena-erlazio bat ordena osoko erlazioa dela esango dugu $(\forall x,y\in A)\quad (x,y)\in {\mathcal {R}}\,{\mbox{ edo }}\,(y,x)\in {\mathcal {R}}{\mbox{ bada,}}$ edo, baliokidea dena, $(\forall x,y\in A)\quad x{\mathcal {R}}y\,{\mbox{ edo }}\,y{\mathcal {R}}x{\mbox{ bada}}.$ Kasu horretan, ${\mathcal {R}}$ erlazioak $A$ multzoa osoki ordenatzen duela edo $A$ multzoa osorik ordenaturik dagoela edo katea dela esango dugu.

Bestela, ${\mathcal {R}}$ erlazioa ordena partzialeko erlazioa izango da, eta ${\mathcal {R}}$ erlazioak $A$ multzoa partzialki ordenatzen duela edo $A$ multzoa partzialki ordenaturik dagoela esango dugu.

Adibideak.

1. ${\mathcal {R}}_{2}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}x\leq y\}$ ordena-erlazioa da $\mathbb {Z}$ multzoan; hau da, ${\mathcal {R}}_{2}$ erlazioak $\mathbb {Z}$ multzoa ordenatzen du.

   ${\mathcal {R}}_{2}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {Z} {\mbox{ eta }}x\leq y\}$ ordena osoko erlazioa da: $x,y\in \mathbb {Z}$ guztietarako, $x\leq y$ edo $y\leq x$ delako.

2. ${\mathcal {R}}_{3}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {N} ^{*}{\mbox{ eta }}x\mid y\}$ ordena-erlazioa da $\mathbb {N} ^{*}$ multzoan. ${\mathcal {R}}_{3}$ erlazioak $\mathbb {N} ^{*}$ multzoa ordenatzen du.

   ${\mathcal {R}}_{3}=\{(x,y)\;:\;x,y\in \mathbb {N} ^{*}{\mbox{ eta }}x\mid y\}$ ordena partzialeko erlazioa da: $3\not {\mathcal {R}}_{3}7$ eta $7\not {\mathcal {R}}_{3}3$, hots, $3$ eta $7$ ez daude elkarrekin erlazionaturik.

3.3.3 Baliokidetasun-erlazioak

Definizioa. $A$ multzoaren gaineko ${\mathcal {R}}$ erlazio bitar bat baliokidetasun-erlazioa da bihurkorra, simetrikoa eta iragankorra bada.

Adibideak.

1. ${\mathcal {R}}_{1}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}$ baliokidetasun-erlazioa da $A=\{1,2,3,4\}$ multzoaren gainean.

   Hona hemen bere adierazpen bat:

   




2. $x{\mathcal {R}}_{5}y\Leftrightarrow \mid x\mid =\mid y\mid$ baliokidetasun-erlazioa da $\mathbb {Z}$ multzoan.

Definizioa. Izan bedi ${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazio bat $A$ multzoaren gainean, eta $a\in A$ elementu bat; $a$-rekin erlazionaturik dauden $A$ multzoaren elementu guztien multzoari $a$-ren baliokidetasun-klase deituko diogu, eta $[a]_{\mathcal {R}}$ idatziko dugu: ${\begin{array}{ll}[a]_{\mathcal {R}}&:=\{x\in A\;:\;(x,a)\in {\mathcal {R}}\}\\&\\&=\{x\in A\;:\;x{\mathcal {R}}a\}.\end{array}}$

Ez badu nahasmenik sortzen, $[a]$ idatziko dugu $[a]_{\mathcal {R}}$ idatzi beharrean.

Adibideak.

1. $A=\{1,2,3,4\}$ multzoaren gaineko ${\mathcal {R}}_{1}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}$ erlaziorako bi baliokidetasun-klase desberdin dauzkagu: $[1]=[2]=[3]=\{1,2,3\}\quad {\mbox{eta}}\quad [4]=\{4\}.$
2. ${\mathcal {R}}_{5}$ erlazioa emanik $\mathbb {Z}$ multzoan, $x{\mathcal {R}}_{5}y\Leftrightarrow \mid x\mid =\mid y\mid ,$ $x\in \mathbb {Z}$ guztietarako, $[x]=\{-x,x\}\,{\mbox{ dugu}}.$

Teorema. [klaseak] $A$ multzoaren gaineko ${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioa emanik,

1. $(\forall x\in A)\quad x\in [x].$
2. $(\forall x,y\in A)\quad x{\mathcal {R}}y\,\Leftrightarrow \,[x]=[y].$
3. $(\forall x,y\in A)\quad [x]\neq [y]\,\Rightarrow \,[x]\cap [y]=\emptyset .$
4. $\bigcup _{x\in A}[x]=A.$

Froga.

1. ${\mathcal {R}}$ bihurkorra denez, $x\in A$ guztietarako $x{\mathcal {R}}x$ da, eta, beraz, $[x]$ klasearen definizioaren arabera, $x\in [x]$ betetzen da.

2. $x,y\in A$ guztietarako, $x{\mathcal {R}}y\,\Leftrightarrow \,[x]=[y]$ dela frogatu behar dugu:

   $\Rightarrow$)

   Demagun $x{\mathcal {R}}y$ dela. $[x]=[y]$ dela frogatu behar dugu.

   $\subseteq$)

   ${\begin{array}{l}z\in [x]\Rightarrow z{\mathcal {R}}x\,([x]{\mbox{-aren definizioz}})\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}z{\mathcal {R}}x\\x{\mathcal {R}}y{\mbox{ (hipotesiz) }}\end{array}}\right\}\Rightarrow \\\\\Rightarrow z{\mathcal {R}}y\,({\mathcal {R}}{\mbox{ iragankorra delako}})\Rightarrow z\in [y]\,([y]{\mbox{-aren definizioz}}).\end{array}}$

   $\supseteq$ )

   ${\begin{array}{l}z\in [y]\Rightarrow z{\mathcal {R}}y\,([y]{\mbox{-aren definizioz}})\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}z{\mathcal {R}}y\\x{\mathcal {R}}y{\mbox{ (hipotesiz)}}\end{array}}\right\}\Rightarrow \\\\\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}z{\mathcal {R}}y\\y{\mathcal {R}}x\,({\mathcal {R}}{\mbox{ simetrikoa delako}})\end{array}}\right\}\Rightarrow z{\mathcal {R}}x\,({\mathcal {R}}{\mbox{ iragankorra delako}})\Rightarrow \\\\\Rightarrow z\in [x]\,([x]{\mbox{-aren definizioz}}).\end{array}}$

   $\Leftarrow$)

   Demagun $[x]=[y]$ dela. $x{\mathcal {R}}y$ dela frogatu behar dugu.

   1.aren arabera $x\in [x]$ denez eta hipotesiz $[x]=[y]$ denez, $x\in [y]$ betetzen da. $[y]$-aren definiziotik $x{\mathcal {R}}y$ lortuko dugu.

3. Edozein $x,y\in A$ emanik, demagun $[x]\neq [y]$. $[x]\cap [y]=\emptyset$ dela frogatu behar dugu.

   Absurdora eramanez egingo dugu, $[x]\cap [y]\neq \emptyset$ dela suposatuz eta kontraesan batera helduz. $[x]\cap [y]\neq \emptyset \Rightarrow \exists z\in [x]\cap [y].$ $z\in [x]\cap [y]\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}z\in [x]\Rightarrow z{\mathcal {R}}x\Rightarrow x{\mathcal {R}}z\\z\in [y]\Rightarrow z{\mathcal {R}}y\end{array}}\right\}\Rightarrow x{\mathcal {R}}y\Rightarrow [x]=[y]{\mbox{ (2.aren arabera)}}.$ Kontraesan batera heldu gara, hipotesiz $[x]\neq [y]$ delako. Beraz, $[x]\cap [y]\neq \emptyset$ ezin da izan; hortaz, $[x]\cap [y]=\emptyset$ beteko da.

4. $\subseteq$ )

   Edozein $x\in A$ emanik, $[x]\subseteq A$; hortaz, $\bigcup _{x\in A}[x]\subseteq A$.

   $\supseteq$ )

   $z\in A\Rightarrow z\in [z]{\mbox{ (1.aren arabera) }}\Rightarrow z\in \bigcup _{x\in A}[x]\,(\cup {\mbox{-ren definizioz}}).$

   $\Box$

Korolarioa. Izan bedi ${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioa $A$ multzoaren gainean. Erlazio horren baliokidetasun-klase guztien familia, ${\mathcal {P}}=\{[x]\,:\,x\in A\},$ $A$-ren partiketa bat da.

Froga.

1, 3 eta 4 propietateak ${\mathcal {P}}$ partiketa izateko bete behar duen definizioaren baldintzak dira. $\Box$

Partiketaren definizioaren ondorioz, $A$-ren elementu bakoitza klase bakar baten elementua da: $\forall x\in A\quad \exists \mid [a]\in {\mathcal {P}}\quad /\quad x\in [a],$ eta $[a]$ klasearen edozein elementuri klasearen ordezkari deituko diogu.

Definizioa. Izan bedi ${\mathcal {R}}$ baliokidetasun-erlazioa $A$ multzoaren gainean. Erlazio horren baliokidetasun-klase guztien multzoari $A$ gain ${\mathcal {R}}$ zatidura multzo deituko diogu, eta $A/{\mathcal {R}}$ adieraziko dugu: $A/{\mathcal {R}}:=\{[x]\;:\;x\in A\}.$

Adibideak.

1. ${\mathcal {R}}_{1}$ erlazioa emanik $A=\{1,2,3,4\}$ multzoan, ${\mathcal {R}}_{1}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\},$ $[1]$ klaseak hiru ordezkari ditu: $1$, $2$ eta $3$. $[4]$ klaseak, ordea, ordezkari bakarra du: $4$. Beraz, $A/{\mathcal {R}}_{1}=\{[1],[4]\}=\{[2],[4]\}=\{[3],[4]\}.$
2. ${\mathcal {R}}_{5}$ erlazioa emanik $\mathbb {Z}$ multzoan, $x{\mathcal {R}}_{5}y\Leftrightarrow \mid x\mid =\mid y\mid ,$ $x\in \mathbb {Z} ^{*}$ guztietarako, $[x]$ klaseak bi ordezkari ditu: $x$ eta $-x$. $[0]$ klaseak, ordea, ordezkari bakarra du: $0$. Beraz, $\mathbb {Z} /{\mathcal {R}}_{5}=\{[x]\;:\;x\in \mathbb {Z} \}=\{[0]\}\cup \{[x]\;:\;x\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\{[0]\}\cup \{[x]\;:\;x\in \mathbb {Z} ^{-}\}.$

3.3.4 n moduluko kongruentzia

Definizioa. Izan bedi $n\in \mathbb {Z}$, $n>1$. $a,b\in \mathbb {Z}$ emanik, $a$ $b$-rekin kongruentea da modulu $n$, eta $a\equiv b{\pmod {n}}$ idatziko dugu, $n\mid a-b$ bada, hau da, $\exists k\in \mathbb {Z}$, non $a=b+kn$ den.

Adibideak.

1. $17\equiv 2{\pmod {5}}$ da, $5\mid 15$ betetzen delako.
2. $-23\equiv -5{\pmod {6}}$ da, $6\mid -18$ betetzen delako.
3. $-7\equiv 2{\pmod {3}}$ da, $3\mid -9$ betetzen delako.
4. $-7\not \equiv 2{\pmod {4}}$ da, $4\not \mid -9$ betetzen delako.

Teorema. Izan bedi $n\in \mathbb {Z}$, $n>1$. $n$ moduluko kongruentzia baliokidetasun-erlazioa da $\mathbb {Z}$ multzoan.

Froga.

$n$ moduluko kongruentzia $\mathbb {Z}$ multzoan bihurkorra, simetrikoa eta iragankorra dela frogatu behar dugu.

1. Bihurkorra. Hau frogatu behar da: $(\forall x\in \mathbb {Z} )\quad x\equiv x{\pmod {n}}.$ Izan bedi $x\in \mathbb {Z}$. $x-x=0=0\cdot n$ betetzen da; hortaz, $n\mid x-x$ betetzen da; eta hortik $x\equiv x{\pmod {n}}$.
2. Simetrikoa. Hau frogatu behar da: $(\forall x,y\in \mathbb {Z} )\quad x\equiv y{\pmod {n}}\;\Rightarrow \;y\equiv x{\pmod {n}}.$ Izan bitez $x,y\in \mathbb {Z}$. ${\begin{array}{l}x\equiv y{\pmod {n}}\Rightarrow \;n\mid x-y\Rightarrow n\mid (-1)(x-y)=y-x\Rightarrow y\equiv x{\pmod {n}}.\end{array}}$
3. Iragankorra. Hau frogatu behar da: $(\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )\quad x\equiv y{\pmod {n}}\,{\mbox{ eta }}\,y\equiv z{\pmod {n}}\;\Rightarrow \;x\equiv z{\pmod {n}}.$ Izan bitez $x,y,z\in \mathbb {Z}$.

$\quad \quad \quad {\begin{array}{l}\left.{\begin{array}{l}x\equiv y{\pmod {n}}\\y\equiv z{\pmod {n}}\end{array}}\right\}\;\Rightarrow \;\left.{\begin{array}{l}n\mid x-y\\n\mid y-z\end{array}}\right\}\;\Rightarrow \;n\mid (x-y)+(y-z)=x-z\Rightarrow \;x\equiv z{\pmod {n}}.\end{array}}$ $\Box$

Baliokidetasun-erlazio honetarako zatidura-multzoa bi eratan adierazi ohi da, $\mathbb {Z} /\mathbb {Z} n$ edo $\mathbb {Z} _{n}$: $\mathbb {Z} /\mathbb {Z} n=\mathbb {Z} _{n}=\{[x]\;:\;x\in \mathbb {Z} \}.$

$\mathbf {\mathit {n}}$ moduluko kongruentziaren baliokidetasun-klaseak lortzeko bidea:

Lehendabizi, $[x]$, $x\in \mathbb {Z}$ izanik, klasearen ordezkari bat aukeratuko dugu.

Horretarako $x$ zati $n$ egingo dugu. Izan bedi $r$ zatidura euklidestarraren hondarra; hau da, $x=qn+r$ da, $q,r\in \mathbb {Z}$ eta $0\leq r<n$ izanik. Orduan, $x-r=qn$ dugu, eta, beraz, $n\mid x-r$ betetzen da, edo baliokidea dena, $x\equiv r{\pmod {n}}$. Hortaz, [klaseak]-2 teoremaren arabera, $[x]=[r]$. Beraz, $r$ hartuko dugu $[x]$ klasearen ordezkaritzat.

Bigarrenez, $[r]$ klasean dauden elementuak kalkulatuko ditugu.

${\begin{array}{ll}[r]&=\{y\in \mathbb {Z} \;:\;n\mid y-r\}=\{r+kn\;:\;k\in \mathbb {Z} \}=\\&=\{\cdots ,r-2n,r-n,r,r+n,r+2n,\cdots \}=\\&=\{y\in \mathbb {Z} \;:\;r\;{\mbox{ da }}\;y\;{\mbox{ zati }}\;n{\mbox{ zatidura euklidestarraren hondarra}}\}.\end{array}}$

$n$ klase lortuko ditugu (hondar posible adina klase), eta klaseen multzoa honela adieraziko dugu: $\mathbb {Z} /\mathbb {Z} n=\mathbb {Z} _{n}=\{[0],[1],\cdots ,[n-1]\}.$

Adibidea.

$\mathbb {Z} /\mathbb {Z} 5=\mathbb {Z} _{5}=\{[0],[1],[2],[3],[4]\}.$

$22\in [2]$ da, $22=4\cdot 5+2$ delako.

$-22\in [3]$ da, $-22=(-5)\cdot 5+3$ delako.

$-800\in [0]$ da, $-800=(-160)\cdot 5+0$ delako.

3.4 Funtzioak

3.4.1 Definizioak

Definizioa. $A$ eta $B$ multzoak emanik, $A$ multzotik $B$ multzora doan funtzio bat $A$ multzoaren elementu bakoitzari $B$ multzoaren elementu bakar bat esleitzen dion $f$ lege bat da.

$f$ $A$ multzotik $B$ multzora doan funtzio bat dela adierazteko honela idatziko dugu: $f\,:\,A\longrightarrow B\quad {\mbox{ edo }}\quad A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B.$

$A$ $f$ funtzioaren abiaburu multzoa da eta $B$ $f$ funtzioaren helburuko multzoa da.

$f$ funtzioak $a\in A$ elementuari $b\in B$ elementua esleitzen badio, esango dugu $b$ dela $a$-ren ($f$-ren bidezko) irudia, eta $a$ dela $b$-ren ($f$-ren bidezko) aurreirudi bat. Eta honela adieraziko dugu: $f(a)=b\quad {\mbox{ edo }}\quad a\longmapsto b.$

Adibideak.

1. ${\displaystyle }$

   ${\begin{array}{cccc}h:&\mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&x&\mapsto &x+1\end{array}}.$

   $7\in \mathbb {N}$ elementuaren irudia $8$ da. $1\in \mathbb {N}$ elementuak aurreirudi bat du: $0$. $0\in \mathbb {N}$ elementuak ez du aurreirudirik.

2. ${\begin{array}{cccc}l:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{l}0,x{\mbox{ bikoitia bada,}}\\1,x{\mbox{ bakoitia bada.}}\end{array}}\right.\end{array}}$

3. ${\begin{array}{cccc}p:&\mathbb {R} ^{2}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&(x_{1},x_{2})&\mapsto &x_{1}\end{array}}.$

4. Ondokoak ez dira funtzioak: ${\begin{array}{cccc}f:&\{1,2,3\}&\longrightarrow &\{a,b,c,d\}\\&1&\mapsto &a\\&1&\mapsto &b\\&2&\mapsto &c\\&3&\mapsto &d\\\end{array}}.$

   Ez da funtzioa abiaburu multzoaren $1$ elementuari bi elementu esleitzen baitizkio helburuko multzoan ($1$-ak bi irudi ditu).

   ${\begin{array}{cccc}g:&\{1,2,3\}&\longrightarrow &\{a,b\}\\&1&\mapsto &a\\&2&\mapsto &b\\\end{array}}.$

   Ez da funtzioa abiaburu multzoaren $3$ elementuari ez diolako elementurik esleitzen helburuko multzoan ($3$-ak du irudirik).

   ${\begin{array}{cccc}h:&\mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&x&\mapsto &x-1\end{array}}.$

   $0$-ak du irudirik.

   ${\begin{array}{cccc}j:&\mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\sqrt {x}}\end{array}}.$

   $4$-k bi irudi ditu: $-2$ eta $2$. (Erro karratua funtziotzat hartzeko $+$ eta $-$ ikurrak erabiliko ditugu; hau da, $f(x)=+{\sqrt {x}}$ eta $f(x)=-{\sqrt {x}}$ bi funtzio dira; beste kasuetan bezala, $+$ ikurra ez da ohi jartzen erroaren aurrean).

Definizioa. $f:A\longrightarrow B$ funtzioa emanik, $f$ funtzioaren grafo deituko diogu multzo honi: $G_{f}:=\{(x,f(x))\;:\;x\in A\}.$ Ohar gaitezen $G_{f}\subseteq A\times B$ dela, eta $A$-ren elementu bakoitza behin bakarrik agertzen dela $G_{f}$ multzoaren elementuen lehenengo osagai gisa.

Adibideak.

1. ${\begin{array}{cccc}h:&\mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&x&\mapsto &x+1\end{array}};\quad \quad G_{h}=\{(x,x+1)\;:\;x\in \mathbb {N} \}.$

2. ${\begin{array}{cccc}l:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{l}0,x{\mbox{ bikoitia bada,}}\\1,x{\mbox{ bakoitia bada.}}\end{array}}\right.\end{array}}$

   $G_{l}=\{(x,0)\;:\;x\in \mathbb {N} {\mbox{ eta }}x{\mbox{ bikoitia da}}\}\cup \{(x,1)\;:\;x\in \mathbb {N} {\mbox{ eta }}x{\mbox{ bakoitia da}}\}.$

Beraz, funtzio bat emanik, grafo bat definitzen dugu. Alderantziz ere beteko da. Hau da, $G\subseteq A\times B$ multzo bat emanik, $A$-ren elementu bakoitza behin bakarrik agertzen delarik $G$-ren elementuen lehenengo osagai gisa, $f:A\longrightarrow B$ funtzio bat dago, zeinaren grafoa $G$ den.

Definizioa. $f$ eta $g$ funtzioak berdinak direla esango dugu, eta $f=g$ idatziko dugu, hau betetzen badute:

1. $A$ abiaburu multzo bera badute;
2. $B$ helburuko multzo bera badute;
3. $(\forall x\in A)\quad f(x)=g(x)$ bada.

Adibidea. Funtzio hauek emanik: ${\begin{array}{cccc}f:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{cccc}g:&\{-3,3\}&\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{array}},$

${\begin{array}{cccc}h:&\{-3,3\}&\longrightarrow &\mathbb {N} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{array}},\quad \quad {\begin{array}{cccc}k:&\{-3,3\}&\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &9\end{array}},$

$f\neq g$ da, $f$ eta $g$ funtzioek ez baitute abiaburu multzo bera; $g\neq h$ da, $g$ eta $h$ funtzioek ez baitute helburuko multzo bera; $g=k$ da:

1. $g$ eta $k$ abiaburu multzo bera dute: $\{-3,3\}$;
2. $g$ eta $k$ helburuko multzo bera dute: $\mathbb {Z}$; eta
3. $(\forall x\in \{-3,3\})\quad g(x)=9=k(x)$ betetzen dutelako.

Definizioa. $f:A\longrightarrow B$ funtzioa bat eta abiaburu multzoaren $A_{1}\subseteq A$ azpimultzo bat emanik, ondoko funtzioari $f$ funtzioaren $A_{1}$ multzorako murrizketa deituko diogu, eta $f\mid _{A_{1}}$ adieraziko dugu: ${\begin{array}{cccc}f\mid _{A_{1}}:&A_{1}&\longrightarrow &B\\&x&\mapsto &f(x)\end{array}}.$

Adibidea.

${\begin{array}{cccc}f:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{array}};\quad \quad {\begin{array}{cccc}f\mid _{\{-3,3\}}:&\{-3,3\}&\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{array}}.$ Definizioa. $A$ multzoa emanik, $A$ multzoaren gaineko identitate funtzioa $id_{A}$ edo $1_{A}$ adieraziko dugu eta honela definituko dugu: ${\begin{array}{cccc}id_{A}:&A&\longrightarrow &A\\&x&\mapsto &x\end{array}}.$

Definizioa. $A$ multzoa emanik, funtzio karakteristiko deituko diogu eta $f_{A}$ adieraziko dugu ondoko funtzio honi: ${\begin{array}{cccc}f_{A}:&U&\longrightarrow &\{0,1\}\\&x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{l}1,x\in A{\mbox{ bada,}}\\0,x\not \in A{\mbox{ bada,}}\end{array}}\right.\end{array}}$

non $U$ multzo unibertsala baita.

Adibidea. Demagun multzo unibertsala $\mathbb {Z}$ dela. ${\begin{array}{cccc}f_{\mathbb {N} }:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\{0,1\}\\&x&\mapsto &\left\{{\begin{array}{l}1,x\geq 0{\mbox{ bada,}}\\0,x<0{\mbox{ bada.}}\end{array}}\right.\end{array}}$

Definizioa. $f:A\longrightarrow B$ funtzioa eta $A_{1}\subseteq A$ azpimultzoa emanik, $A_{1}$-en elementu guztien irudien multzoari $A_{1}$ azpimultzoaren ($f$-ren bidezko) irudi deituko diogu eta $f(A_{1})$ adieraziko dugu; hau da, $f(A_{1}):=\{f(x)\;:\;x\in A_{1}\}.$

Ohar dezagun $f(A_{1})\subseteq B$ dela.

Hitzarmena. $f(\emptyset ):=\emptyset$.

Definizioa. $f:A\longrightarrow B$ funtzioa emanik, $f(A)$ multzoari $f$ funtzioaren irudi multzo deitzen zaio eta Im$f$ adierazten da; hau da, Im$f:=\{f(x)\;:\;x\in A\}.$

3.4.2 Funtzio-motak

Definizioa. $f:A\longrightarrow B$ funtzioa injektiboa dela esango dugu $A$-ren elementu desberdinek irudi desberdinak badituzte $B$ multzoan. Hau da, $(\forall x_{1},x_{2}\in A)\quad x_{1}\neq x_{2}\quad \Longrightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}){\mbox{ betetzen bada}},$ edo, baliokidea dena, $(\forall x_{1},x_{2}\in A)\quad f(x_{1})=f(x_{2})\quad \Longrightarrow x_{1}=x_{2}{\mbox{ betetzen bada}}.$

Definizioa. $f:A\longrightarrow B$ funtzioa surjektiboa dela esango dugu $B$-ren elementu guztiek gutxienez aurreirudi bat badute $A$ multzoan. Hau da, $\Im f=B$ bada, edo, gauza bera dena: $\forall y\in B\quad \exists x\in A,{\mbox{ non }}f(x)=y{\mbox{ den}}.$

Definizioa. $f:A\longrightarrow B$ funtzioa bijektiboa dela esango dugu injektiboa eta surjektiboa bada.

Adibideak.

1. $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $f(x)=3x+1$.

   • $f(x)$ funtzioa injektiboa da: $x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow 3x_{1}\neq 3x_{2}\Rightarrow 3x_{1}+1\neq 3x_{2}+1\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}).$

   • $f(x)$ funtzioa surjektiboa da: $y\in \mathbb {R}$ emanik, $\exists x\in \mathbb {R} \,/f(x)=y?$

     $y=f(x)\Rightarrow y=3x+1\Rightarrow x={\frac {y-1}{3}}\in \mathbb {R}$; beraz, bai.

   • Ondorioz, $f(x)$ funtzioa bijektiboa da.

2. $g:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, $g(x)=x+1$.

   • $g$ injektiboa da: izan bitez $x_{1},x_{2}\in \mathbb {N}$ edozein, $g(x_{1})=g(x_{2})\Rightarrow x_{1}+1=x_{2}+1\Rightarrow x_{1}=x_{2}.$

   • $g$ ez da surjektiboa: $\not \exists x\in \mathbb {N} ,{\mbox{ non }}g(x)=0{\mbox{ den, hau da, }}x+1=0$.

3. $\mid \cdot \mid :\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, balio absolutua: $\mid x\mid =\left\{{\begin{array}{cc}-x&x<0\\x&0\leq x\end{array}}.\right.$

   • Ez da injektiboa: $\mid 2\mid =\mid -2\mid =2$, eta $2\neq -2$.

   • Ez da surjektiboa: $\forall x\in \mathbb {R} \mid x\mid \geq 0$ da; hau da, $\not \exists x\in \mathbb {R} \,/\mid x\mid =-1$.

4. $p:\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$, $p(x_{1},x_{2})=x_{1}$.

   • $p$ ez da injektiboa: $p(1,\pi )=p(1,0)$, baina $(1,\pi )\neq (1,0)$.

   • $p$ surjektiboa da: $\forall y\in \mathbb {R} \quad \exists (x_{1},x_{2})=(y,0)\in \mathbb {R} ^{2},{\mbox{ non }}p(x_{1},x_{2})=y{\mbox{ den}}.$

     Ohar gaitezen $y\in \mathbb {R}$ elementu bakoitzak aurreirudi bat baino gehiago duela; guk bat aukeratu dugu, baina infinitu daude; esaterako, $p(y,\pi )=y$.

Adibidea. $A$ multzoa emanik, $A$ multzoaren gaineko identitatea,

${\begin{array}{cccc}id_{A}:&A&\longrightarrow &A\\&x&\mapsto &x\end{array}},$

injektiboa eta surjektiboa da. Hortaz, bijektiboa da.

3.4.3 Alderantzizko funtzioa

Teorema. Funtzio bijektiboen karakterizazioa

$f:A\longrightarrow B$ funtzio bat emanik, $f\;{\mbox{ bijektiboa da}}\quad \Longleftrightarrow \quad \forall y\in B\;\exists \mid x\in A\,/\,f(x)=y{\mbox{ betetzen bada}}.$ Froga.

$\Rightarrow$)

$f$ bijektiboa denez, surjektiboa da; beraz, hau beteko du: $\exists x\in A\,/\,f(x)=y.$

Ikus dezagun $x\in A$ hori bakarra dela. $\exists x_{1},x_{2}\in A$ baleude, non $f(x_{1})=y$ eta $f(x_{2})=y$ diren, orduan $f(x_{1})=f(x_{2})$ izango zen. Eta $f$ injektiboa denez, $x_{1}=x_{2}$ beteko zen.

$\Leftarrow$)

Demagun $\forall y\in B\;\exists \mid x\in A\,/\,f(x)=y$ betetzen dela.

$\forall y\in B\;\exists \mid x\in A\,/\,f(x)=y$ betetzen bada, $f$ surjektiboa da, surjektiboa izateko nahikoa delako $x\in A$ existitzea.

Ikus dezagun $f$ injektiboa dela.

Har ditzagun $x_{1},x_{2}\in A$, eta demagun $f(x_{1})=f(x_{2})$ dela. $f(x_{1}),f(x_{2})\in B$; beraz, $\exists \mid x\in A\,/\,f(x)=f(x_{1})=f(x_{2})$; orduan, $x=x_{1}=x_{2}$ izango da, $x\in A$ bakarra delako. $\Box$

Orduan, $f:A\longrightarrow B$ funtzio bijektibo bat emanik, $\forall y\in B\;\exists \mid x\in A\,/\,f(x)=y$. Beraz, esan dezakegu $y\in B$ horri $x\in A$ bakar bat dagokiola; hau da, badago lege bat $y\in B$ bakoitzari $x\in A$ bakar bat esleitzen diona. Lege horri $f$ funtzioaren alderantzizko funtzio deituko diogu, eta honela adieraziko dugu:

${\begin{array}{cccc}f^{-1}:&B&\longrightarrow &A\\&y&\mapsto &x,{\mbox{ non }}f(x)=y\end{array}}$

Adibidea. $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $f(x)=3x+1$, funtzioa bijektiboa denez, alderantzizko funtzioa honela defini dezakegu:

$y\in \mathbb {R}$ emanik, $\exists \mid x\in \mathbb {R} \,/\,f^{-1}(y)=x$, non $f(x)=y$ den; beraz, $3x+1=y$ da, eta hortik, $\displaystyle {x={\frac {y-1}{3}}}$ aterako dugu. Orduan,

$f^{-1}:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $\displaystyle {f^{-1}(y)={\frac {y-1}{3}}}$, da $f$ funtzioaren alderantzizko funtzioa.

Ondorioa. $f:A\longrightarrow B$ funtzio bijektiboa emanik, $f^{-1}:B\longrightarrow A$ bada $f$ funtzioaren alderantzizko funtzioa, propietate hauek beteko dituzte:

1. $(\forall x\in A)\;(\forall y\in B)\quad f^{-1}(y)=x\;\Leftrightarrow \;f(x)=y.$
2. $(\forall x\in A)\quad f^{-1}(f(x))=x.$
3. $(\forall y\in B)\quad f(f^{-1}(y))=y.$

Teorema. Funtzio bijektibo baten alderantzizko funtzioa ere bijektiboa da.

Adibidea. $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $f(x)=3x+1$, funtzio bijektiboa denez, $f^{-1}:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, $\displaystyle {f^{-1}(y)={\frac {y-1}{3}}}$, alderantzizko funtzioa ere bijektiboa da.

3.4.4 Funtzioen konposizioa

Definizioa. $f:A\longrightarrow B$ eta $g:B\longrightarrow C$ funtzioak emanik, $f$ eta $g$ funtzioen arteko funtzio konposatu deituko diogu, eta $g\circ f$ idatziko dugu, honako funtzio honi:

${\begin{array}{cccc}g\circ f\,:&A&\longrightarrow &C\\&x&\mapsto &g(f(x))\end{array}}$ Ohar dezagun, $g\circ f$ definitu ahal izateko, $f$ funtzioaren helburuko multzoak bat etorri behar duela $g$ funtzioaren abiaburu multzoarekin.

${\begin{array}{cccccc}g\circ f\,:&A&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&B&{\stackrel {g}{\longrightarrow }}&C\\&x&\longmapsto &f(x)&\longmapsto &g(f(x))\end{array}}$

$g\circ f$ funtzioa ongi definiturik dago:

• Abiaburu multzoaren elementu bakoitzak irudi bat du helburuko multzoan: $x\in A\Rightarrow f(x)\in B\Rightarrow g(f(x))\in C.$
• Abiaburu multzoaren elementu bakoitzaren irudia bakarra da: $x_{1},x_{2}\in A$ emanik, $x_{1}=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow g(f(x_{1}))=g(f(x_{2})).$

Adibideak.

1. ${\begin{array}{cccc}f:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{array}}\quad {\begin{array}{cccc}g:&\mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x+3\end{array}}\quad {\begin{array}{cccc}g\circ f:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x^{2}+3\end{array}}$ $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+3.$

   Ohar gaitezen ezin dela $f\circ g$ definitu, $g$ funtzioaren helburuko multzoa ez datorrelako bat $f$ funtzioaren abiaburu multzoarekin.

2. ${\begin{array}{cccc}h:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &x^{2}\end{array}}\quad \quad {\begin{array}{cccc}j:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &x+3\end{array}}$ ${\begin{array}{cccc}j\circ h:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &x^{2}+3\end{array}}\quad \quad {\begin{array}{cccc}h\circ j:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&x&\mapsto &(x+3)^{2}\end{array}}$ $(j\circ h)(x)=j(h(x))=j(x^{2})=x^{2}+3.\quad (h\circ j)(x)=h(j(x))=h(x+3)=(x+3)^{2}.$

   Beraz, nahiz eta $h\circ j$ eta $j\circ h$ funtzio konposatuak existitu, ez dira berdinak, hots, $h\circ j\neq j\circ h$.

Adibideetan ikusi dugu, oro har, funtzioen konposizioa ez dela trukakorra.

Propietateak.

1. Funtzioen konposizioa elkarkorra da.

   $f:A\longrightarrow B$, $g:B\longrightarrow C$ eta $h:C\longrightarrow D$ funtzioak emanik, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$

2. $f:A\longrightarrow B$ funtzioa emanik, $f\circ id_{A}=f,\quad id_{B}\circ f=f.$

3. $f:A\longrightarrow B$ funtzio bijektiboa emanik, $f^{-1}\circ f=id_{A},\quad f\circ f^{-1}=id_{B}.$

4. Funtzio surjektiboen funtzio konposatua surjektiboa da.

   $f:A\longrightarrow B$ eta $g:B\longrightarrow C$ funtzioak emanik, $f,g\;{\mbox{ surjektiboak }}\quad \Rightarrow \quad g\circ f\;{\mbox{ surjektiboa.}}$

5. Funtzio injektiboen funtzio konposatua injektiboa da.

   $f:A\longrightarrow B$ eta $g:B\longrightarrow C$ funtzioak emanik, $f,g\;{\mbox{ injektiboak }}\quad \Rightarrow \quad g\circ f\;{\mbox{ injektiboa.}}$

6. Funtzio bijektiboen funtzio konposatua bijektiboa da.

   $f:A\longrightarrow B$ eta $g:B\longrightarrow C$ funtzioak emanik, $f,g\;{\mbox{ bijektiboak }}\quad \Rightarrow \quad g\circ f\;{\mbox{ bijektiboa.}}$

7. $f:A\longrightarrow B$ y $g:B\longrightarrow C$ funtzio bijektiboak emanik (beraz, $g\circ f$ bijektiboa da), $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

Oharra. Elkartze-propietateari esker, $h\circ g\circ f$ idatz dezakegu parentesiak jarri gabe.

Idazkera. $f^{n}=f\circ {\stackrel {n}{\cdots }}\circ f$.

Froga.

1. Ikusteko zeintzuk diren $h\circ (g\circ f)$ funtzioaren abiaburu eta helburuko multzoak, lehenago, $g\circ f$ funtzioarenak ikusiko ditugu: $g\circ f\,:\,A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C,$ eta gero, $h\circ (g\circ f)$ funtzioarenak: $h\circ (g\circ f)\,:\,A{\stackrel {g\circ f}{\longrightarrow }}C{\stackrel {h}{\longrightarrow }}D.$ Ikusteko zeintzuk diren $(h\circ g)\circ f$ funtzioaren abiaburu eta helburuko multzoak, lehenago, $h\circ g$ funtzioarenak ikusiko ditugu: $h\circ g\,:\,B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C{\stackrel {h}{\longrightarrow }}D,$ eta gero, $(h\circ g)\circ f$ funtzioarenak: $(h\circ g)\circ f\,:\,A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {h\circ g}{\longrightarrow }}D.$ Ikus dezagun, orain, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ betetzen dela.

   • $h\circ (g\circ f)$ eta $(h\circ g)\circ f$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $A$.

   • $h\circ (g\circ f)$ eta $(h\circ g)\circ f$ funtzioek helburuko multzo bera dute: $D$.

   • $(\forall x\in A)\quad (h\circ (g\circ f))(x)=((h\circ g)\circ f)(x)$: $(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)));$ $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x))).$

2. • $f\circ id_{A}\,:\,A{\stackrel {id_{A}}{\longrightarrow }}A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B,\quad f:\,A\longrightarrow B$.

     • $f\circ id_{A}$ eta $f$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $A$.

     • $f\circ id_{A}$ eta $f$ funtzioek helburuko multzo bera dute: $B$.

     • $(\forall x\in A)\quad (f\circ id_{A})(x)=f(x)$: $(f\circ id_{A})(x)=f(id_{A}(x))=f(x).$

   • $id_{B}\circ f\,:\,A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {id_{B}}{\longrightarrow }}B,\quad f:\,A\longrightarrow B$.

     • $id_{B}\circ f$ eta $f$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $A$.

     • $id_{B}\circ f$ eta $f$ funtzioek helburuko multzo bera dute: $B$.

     • $(\forall x\in A)\quad (id_{B}\circ f)(x)=f(x)$: $(id_{B}\circ f)(x)=id_{B}(f(x))=f(x).$

3. • $f^{-1}\circ f\,:\,A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {f^{-1}}{\longrightarrow }}A,\quad id_{A}:\,A\longrightarrow A$.

     • $f^{-1}\circ f$ eta $id_{A}$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $A$.

     • $f^{-1}\circ f$ eta $id_{A}$ funtzioek helburuko multzo bera dute: $A$.

     • $(\forall x\in A)\quad (f^{-1}\circ f)(x)=id_{A}(x)$: $(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=x=id_{A}(x).$

   • $f\circ f^{-1}\,:\,B{\stackrel {f^{-1}}{\longrightarrow }}A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B,\quad id_{B}:\,B\longrightarrow B$.

     • $f\circ f^{-1}$ eta $id_{B}$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $B$.

     • $f\circ f^{-1}$ eta $id_{B}$ funtzioek helburuko multzo bera dute: $B$.

     • $(\forall y\in B)\quad (f\circ f^{-1})(y)=id_{B}(y)$: $(f\circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=y=id_{B}(y).$

4. $g\circ f\,:\,A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C$. Demagun $f$ eta $g$ surjektiboak direla.

   Frogatu behar dugu $g\circ f$ surjektiboa dela. Hau da, $\forall z\in C\quad \exists x\in A\,/\,(g\circ f)(x)=z{\mbox{ betetzen dela}}.$

   Izan bedi $z\in C$ edozein. $g$ surjektiboa denez, $\exists y\in B\,/\,g(y)=z$.

   $y\in B$ denez eta $f$ surjektiboa denez, $\exists x\in A\,/\,f(x)=y$.

   Orduan, $z=g(y)=g(f(x))=(g\circ f)(x)$. Hortaz, $\exists x\in A\,/\,(g\circ f)(x)=z$.

5. $g\circ f\,:\,A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C$. Demagun $f$ eta $g$ injektiboak direla.

   Frogatu behar dugu $g\circ f$ injektiboa dela. Hau da, $(\forall x_{1},x_{2}\in A)\quad (g\circ f)(x_{1})=(g\circ f)(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}{\mbox{ betetzen dela}}.$ Izan bitez $x_{1},x_{2}\in A$ edozein, ${\begin{array}{l}(g\circ f)(x_{1})=(g\circ f)(x_{2})\Rightarrow g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))\Rightarrow \\\Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}),(g{\mbox{ injektiboa delako) }}\Rightarrow x_{1}=x_{2},(f{\mbox{ injektiboa delako).}}\end{array}}$

6. Aurreko bi propietateen ondorio zuzena da.

7. $g\circ f\,:\,A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C,\quad (g\circ f)^{-1}:\,C\longrightarrow A,\quad f^{-1}\circ g^{-1}\,:\,C{\stackrel {g^{-1}}{\longrightarrow }}B{\stackrel {f^{-1}}{\longrightarrow }}A$

   • $(g\circ f)^{-1}$ eta $f^{-1}\circ g^{-1}$ funtzioek abiaburu multzo bera dute: $C$.

   • $(g\circ f)^{-1}$ eta $f^{-1}\circ g^{-1}$ funtzioek helburuko multzo bera dute: $A$.

   • $(\forall z\in C)\quad (g\circ f)^{-1}(z)=(f^{-1}\circ g^{-1})(z)$:

     Izan bedi $z\in C$ edozein. $(g\circ f)^{-1}(z)=(f^{-1}\circ g^{-1})(z)$ betetzen dela frogatzeko, nahikoa da $(g\circ f)((f^{-1}\circ g^{-1})(z))=z$ frogatzea: $(g\circ f)((f^{-1}\circ g^{-1})(z))=(g\circ f\circ f^{-1}\circ g^{-1})(z)=(g\circ id_{B}\circ g^{-1})(z)=$ $=(g\circ g^{-1})(z)=id_{C}(z)=z.$

   $\Box$